Hal, you have the right idea for the linear solution, though make sure

you conclude by saying 13r/9 = W, so that r = 9/13 W.  <br>

<br>

In general, for n planes, I believe we need r + 1/3 r + 1/9 r + ... +

(1/3)^(n-1) * r = W.  If memory of geometric series serves me, for

n approaching infinity, we get the left hand side equal to 1/(1 - 1/3)

r = 3/2 r, so infinitely many planes would require r = 2/3 W.  Not

exactly an overwhelming improvement over the two plane solution, or

even over the one plane solution.<br>

<br>

-Kevin<br>

<br><br><div><span class="gmail_quote">On 5/13/06, <b class="gmail_sendername">Hal Finney</b> <<a href="mailto:hal@finney.org">hal@finney.org</a>> wrote:</span><blockquote class="gmail_quote" style="border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; padding-left: 1ex;">

Ben -<br><br>Typing on my wireless, so I'll be concise.<br><br>I can improve yr 3 plane soln. Let the 1st plane transfer r/3 its fuel<br>to the 2nd plane. Then the 2 planes fly an additional r/9. The 2nd plane<br>transfers 4r/9 to the final plane. This fills the final plane & leaves

<br>the 2nd plane w/ 4r/9 in its tanks so it can fly home. This gives a<br>range of 13r/9.<br><br>But for a globe we can do better. Let the 2nd helper plane fly the<br>opposite direction. The 1st helper transfers r/3 as usual. This gives

<br>the main plane a range of 4r/3. The 2nd plane flies r/3, meets the 1st<br>as it is running out, xfers r/3, and both fly back. This gives a range<br>of 5r/3, so r = 0.6 of the circumference.<br><br>I was not sure how to generalize to N planes for the circular case,

although for a straight line I think the increment goes down by a factor of 3 for each added plane. Hal On Sat, 13 May 2006 3:19, ben wrote: > OK, it's been almost a month now, and no-one's bitten.

<br>><br>> I'm curious to know the answer to this. Obviously it involves calculus,<br>> and that's beyond my current capability to get my head around, but<br>> here's my naive take on the problem.<br>><br>>

<br>> Spike riddled:<br>><br>>>  For a plane to fly around the world without landing, its tank would<br>>>  need to hold sufficient fuel to go all the way around.  But what if<br>>>  you had two identical planes, with fuel transfer capability.  They

<br>>>  could take off together, fly some distance, one transfers a quantity<br>>>  of fuel into the other plane and immediately turns back, returning to<br>>>  the point of origin. The other plane, which received the fuel, flies

>>  on around. >> >>  1.  What is the necessary minimum range of the two planes such that >>  the two could fly a ways, do a transfer, one plane turn around and go >>   back to the start and the other go around?

<br>><br>><br>> Ben squeezed hard on his tiny brain, and came up with:<br>><br>> W = dist round the world<br>> r = range of 1 tank of fuel<br>> Maximum amount of fuel that can be transferred = r/3<br>

> (If it was any other amount, then either the plane won't make it back,<br>> or will be back with fuel to spare, so fuel transferred must be r/3 for<br>> max. effect).<br>><br>> So if plane 2 can make it round the world with 1 and 1/3 tanks of fuel,

<br>> W = r + r/3<br>> Er, my algebra is still a bit dodgy, but i think that's 0.75W. So the<br>> planes have a range of 3/4 the distance round the world.<br>><br>>>  2.  What is the necessary minimum range capability if one had three

<br>>>  such planes?<br>><br>> The same logic applies to each individual plane, i.e., maximum fuel<br>> donation will be r/3, so with 2 donor planes, we have 2r/3 fuel<br>> available at point r/3.<br>> But the single plane that continues can't accept more fuel than it has

<br>> used so far (r/3), so one of the planes has to donate 1/6 it's fuel to<br>> each of the two other planes, which would add 1/12r to their journey.<br>> But then one would later transfer 1/3 of it's extra fuel to the

<br>> remaining plane, so that it had enough to get back, which would add<br>> another r/18. The final plane would use r + r/3 + r/18 to get round the<br>> world. r = 0.72W<br>><br>><br>><br>>>  3.  What is the necessary range capability if one has N planes? (This

<br>>>  one is cool).<br>><br>><br>> With two planes, r = 0.75W, with 3 planes, r = 0.72W, and every extra<br>> plane will remove a smaller distance from the total - transfer r/3 to<br>> N-1 planes, and each one in turn transfers 1/3 of that, etc. They all

<br>> have to get back, from further and further away, which needs more and<br>> more fuel, so a smaller and smaller proportion of the original fuel is<br>> avaliable for the final plane.<br>><br>> I don't know enough maths to cope with this, it's obviously calculus or

<br>> something, but it's going to be an asymptote. I think.<br>><br>> So N planes will each have a range of somewhere between 0.75W and 0. I<br>> have a feeling that an infinite number of planes would need a range of

<br>> 0?<br>><br>> Unless i've got myself horribly confused (not difficult).<br>><br>> But i don't know how to tell the range with N planes.<br>><br>> Do tell, uncle Spike, please?<br>><br>> (It's odd that problems involving statistics have people feverishly

<br>> pounding their keyboards, but this one hasn't drawn a single post.<br>> Unless it's because aeroplanes are boring, whereas zorfs and envelopes<br>> are fascinating).<br>><br>> ben<br>> _______________________________________________

<br>> extropy-chat mailing list<br>> <a href="mailto:extropy-chat@lists.extropy.org">extropy-chat@lists.extropy.org</a><br>> <a href="http://lists.extropy.org/mailman/listinfo.cgi/extropy-chat">http://lists.extropy.org/mailman/listinfo.cgi/extropy-chat

</a><br>_______________________________________________<br>extropy-chat mailing list<br><a href="mailto:extropy-chat@lists.extropy.org">extropy-chat@lists.extropy.org</a><br><a href="http://lists.extropy.org/mailman/listinfo.cgi/extropy-chat">

http://lists.extropy.org/mailman/listinfo.cgi/extropy-chat</a><br></blockquote></div><br>