Probably already a thing (as it always is) but Wikipedia and Wolfram aren't turning anything up so:<br><br>Today I was thinking about squares as the sum of odd numbers, and saw that the reason was because to create the next square, you must add a row of n spots and then a row of n-1, summing to 2n-1, as shown:<br>

<br>o o O<br><u>o o O</u><br>OOO<br><br>and I saw it was easily extendable to any dimension (e.g. for cubes we add a face of x*( blocks, then one of x(x-1), and finally one of (x-1)(x-1); for quartics, x(x)(x) + x(x)(x-1) + (x)(x-1)(x-1) + (x-1)(x-1)(x-1).<br>
<br>So I generalized it to the equation in the attached file.  Neat.<br><br>More interesting was this:<br><br>You can see with geometric simplicity that a^2+b^2 can equal c^2 for 9+16=25:<br><br>oeeeee<br>oooeee<br>oooooe<br>
ooooooo<br><br>As we can see, the odd numbers mesh together to make a box of 4*6 +1: (n-1)*(n+1) + 1 = n^2 -1 + 1 = n^2  (n=5).<br><br>What's so difficult is we can see a special reason for this occurring with the squares, but it is much harder to show how it does NOT occur in the higher powers.  I think this could lead to an elementary proof of Fermat's Last Theorem.<br>