<div class="gmail_quote">2010/11/27 John Clark <span dir="ltr"><<a href="mailto:jonkc@bellsouth.net">jonkc@bellsouth.net</a>></span><br><blockquote class="gmail_quote" style="margin: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; border-left: 1px solid rgb(204, 204, 204); padding-left: 1ex;">
<div style="word-wrap: break-word;"><div><div>On Nov 27, 2010, at 2:15 AM, Mike Dougherty wrote:</div><br><blockquote type="cite"><span style="border-collapse: separate; font-family: Verdana; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; font-size: medium;">Imaginary numbers really do require imagination to grok i^2 = -1.  I'd love to see that represented in a visually intuitive way*.</span></blockquote>
<div><br></div>Make the Real numbers be the horizontal axis of a graph and the imaginary numbers be the vertical axis, now whenever you multiply a Real or Imaginary number by i you can intuitively think about it as rotating it by 90 degrees in a counterclockwise direction. </div>
<div><br></div><div>Look at i, it sits one unit above the real horizontal axis so draw a line from the real numbers to i, so if you multiply i by i (i^2)  it rotates to become −1, multiply it by i again(i^3) and it becomes −i, multiply it by i again (i^4) and it becomes 1, multiply it by i again (i^5) and you've rotated it a complete 360 degrees and you're right back where you started at i.</div>
<div><br></div><div>It is this property of rotation that makes i so valuable, the best example may be electromagnetism where Maxwell used it to describe how electric and magnetic fields change in the X and Y direction (that is to say in the Real and Imaginary direction) as the wave propagates in the Z direction.</div>
<br></div></blockquote></div><br>if you put real numbers on X and real numbers on Y then the product is the number of unit squares that cover the area.  So a 5 x 5 square is literally a 25 unit square.  A 5i x 5i square is a negative 25 unit square?  What does the negative mean in that sense?  Am I missing something fundamental about i ?  (I think I am)  This is one of the rare occasions where I'm not being facetious or tongue-in-cheek.<br>