<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Wed, Dec 18, 2013 at 12:58 PM, spike <span dir="ltr"><<a href="mailto:spike66@att.net" target="_blank">spike66@att.net</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex">
<div bgcolor="white" lang="EN-US" link="blue" vlink="purple"><p class="MsoNormal"><span style="color:rgb(31,73,125);font-family:Calibri,sans-serif;font-size:11pt">I am open to suggestion for how to present irrationals in a more friendly way, especially since I have more bad news for that lad: most numbers are irrational.  Depending on how you count them of course.  There are infinitely many rationals of course, but there are infinely many more irrationals, since you can give me *</span><b style="color:rgb(31,73,125);font-family:Calibri,sans-serif;font-size:11pt">any</b><span style="color:rgb(31,73,125);font-family:Calibri,sans-serif;font-size:11pt">* two rational numbers and I can give you infinitely many irrationals that fit between them, larger than the smaller and smaller than the larger.  Of course, I can also give you infinitely many rational that fit between the two as well, but between each of those between the two are infinitely many irrationals.</span><br>
</p><p class="MsoNormal"><br></p></div></blockquote><div><br></div><div>fight fire with fire?  </div><div><br></div><div>Draw a logarithmic spiral on a golden rectangle using a largish piece of paper.</div><div><br></div>
<div>Now flip the paper over and draw the squares that correspond to the spiral on the opposite side.</div><div><br></div><div>While keeping the spiral side hidden, cut the rectangle(s) into the squares.  I love the sound of a heavy paper cutter making all those cuts.  The beauty of that is you keep picking up the cutaway part and chopping off smaller rectangles and leaving the various squares on the board part of the cutter.  Repeat until you have too small of a rectangle to cut safely.</div>
<div><br></div><div>Now that you've made the square puzzle pieces, flip them over and reassemble the rectangle so the spiral is visible.</div><div><br></div><div>I have no idea if he'll get logarithms just yet, but the inherent beauty of the spiral is intuitive.  This golden ratio (phi) strikes me as a nearly magical thing.  </div>
<div><br></div><div>Infinite series and asymptotic approaching limits is cool, but a bit harder to grasp.</div><div><br></div><div>Have you talked about the population of breeding rabbits that leads to the Fibonacci series?  That's a series that's pretty intuitive (even in 2nd grade) - then use the ratio of any two sequential numbers to show that the later you go in the sequence the closer that ratio gets to phi.  So maybe your approach to the irrational should also be asymptotic?  :)</div>
<div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div> </div></div></div></div>