<html xmlns:v="urn:schemas-microsoft-com:vml" xmlns:o="urn:schemas-microsoft-com:office:office" xmlns:w="urn:schemas-microsoft-com:office:word" xmlns:m="http://schemas.microsoft.com/office/2004/12/omml" xmlns="http://www.w3.org/TR/REC-html40"><head><meta http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=utf-8"><meta name=Generator content="Microsoft Word 15 (filtered medium)"><!--[if !mso]><style>v\:* {behavior:url(#default#VML);}
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 digits!   John K Clark<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:14.0pt'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:14.0pt'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:13.5pt;font-family:"Arial",sans-serif'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:13.5pt;font-family:"Arial",sans-serif'>That is indeed cool but I have trouble finding how it is good to 18 trillion digits.  Using Taylor series it looks a lot closer than that.<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:13.5pt;font-family:"Arial",sans-serif'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:13.5pt;font-family:"Arial",sans-serif'>Wolfram gives 18 septillion digits:<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:13.5pt;font-family:"Arial",sans-serif'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal style='line-height:10.5pt'><span style='font-size:7.5pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'><a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>Number Theory</span></a> > <a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/Constants.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>Constants</span></a> > <a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/e.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>e</span></a> ><o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal style='line-height:10.5pt'><span style='font-size:7.5pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'><a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/RecreationalMathematics.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>Recreational Mathematics</span></a> > <a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/Numerology.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>Numerology</span></a> ><o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal style='line-height:10.5pt'><span style='font-size:7.5pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'><a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/MathWorldContributors.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>MathWorld Contributors</span></a> > <a href="https://mathworld.wolfram.com/topics/Barron.html"><span style='color:dimgray;text-decoration:none'>Barron</span></a> ><o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:9.0pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'><a href="javascript:togglelinktrail('NS')"><b><span style='font-size:7.5pt;color:#146A68;text-decoration:none'>More...</span></b></a><o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:9.0pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'><br><br></span><o:p></o:p></p><div style='mso-element:para-border-div;border:none;border-bottom:solid #A9E163 1.0pt;padding:0in 0in 2.0pt 0in'><p class=MsoNormal style='border:none;padding:0in'><span style='font-size:18.0pt;font-family:"Tahoma",sans-serif;color:#00A6A6'>e Approximations<o:p></o:p></span></p></div><p class=MsoNormal><a href="http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Constants/eApproximations.nb"><span style='font-size:9.0pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:#006699;text-decoration:none'><img border=0 width=119 height=26 style='width:1.2395in;height:.2708in' id="Picture_x0020_3" src="cid:image001.png@01D5FD4C.0EAC1C80" alt="DOWNLOAD Mathematica Notebook"></span></a><o:p></o:p></p><p class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto'><span style='font-size:9.0pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'>An amazing pandigital approximation to <img border=0 width=6 height=15 style='width:.0625in;height:.1562in' id="Picture_x0020_2" src="cid:image002.gif@01D5FD4C.0EAC1C80" alt=e> that is correct to 18457734525360901453873570 decimal digits is given by<o:p></o:p></span></p><div align=center><table class=MsoNormalTable border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 summary="" width="100%" style='width:100.0%'><tr><td style='padding:0in 0in 0in 0in'><p class=MsoNormal><img border=0 width=90 height=35 style='width:.9375in;height:.3645in' id="Picture_x0020_1" src="cid:image003.gif@01D5FD4C.0EAC1C80" alt=" (1+9^(-4^(7·6)))^(3^(2^(85))), "><o:p></o:p></p></td><td width=3 style='width:2.25pt;padding:0in 0in 0in 0in'><p class=MsoNormal align=right style='text-align:right'>(1)<o:p></o:p></p></td></tr></table></div><p class=MsoNormal style='mso-margin-top-alt:auto;mso-margin-bottom-alt:auto'><span style='font-size:9.0pt;font-family:"Arial",sans-serif;color:black'>found by R. Sabey in 2004 (Friedman 2004).<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-size:13.5pt;font-family:"Arial",sans-serif'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-family:"Arial",sans-serif'>It is an astonishing formula.  Surely some meta-programmer who wrote us is having fun watching our mind-boggled expressions at seeing this for the first time.<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-family:"Arial",sans-serif'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-family:"Arial",sans-serif'>If you start thinking about it, one realizes there are arbitrarily many really super good approximations for e, formed by taking a verrrrry small number, adding 1 and raising the result to a reeeeeaaaally big number.  This one is crazy close however, and using all 9 of the first integers is really cool.<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-family:"Arial",sans-serif'><o:p> </o:p></span></p><p class=MsoNormal><span style='font-family:"Arial",sans-serif'>spike<o:p></o:p></span></p><p class=MsoNormal><o:p> </o:p></p></div></div></div></div></body></html>