<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style=""><div dir="ltr" style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><div class="gmail_default" style="font-family:arial,helvetica,sans-serif"><span style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif;background-color:transparent">On Fri, Oct 9, 2026 at 11:25 AM Stuart LaForge via extropy-chat <<a href="mailto:extropy-chat@lists.extropy.org">extropy-chat@lists.extropy.org</a>> wrote:</span></div></div><div class="gmail_quote gmail_quote_container" style=""><div dir="ltr" class="gmail_attr" style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex"><font size="4" style="" face="georgia, serif"><i style="">> One question he has is about whether the infinite digits of pi<br>exist for no other reason than some ancient Greek mathematician<br>postulated the existence of pi. Here is what he asks: "If all of Pi's<br><span class="gmail-im" style="">infinite digits did not exist, and have the exact values they happen to<br></span><span class="gmail-im" style="">have, then e^(2 * Pi * i) would not equal 1.</span></i></font></blockquote><div style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><br></div><div style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><font size="4" face="tahoma, sans-serif"><b>It is beyond dispute that<span class="gmail_default"> starting with just a few simple axioms and the laws of logic you will be able to reassemble some of the symbols of mathematics until you get </span> <span style="background-color:transparent">e^(2 * Pi * i)</span><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"> -1 = 0, but do an infinite number of digits of pi actually exist? </span><span style="background-color:transparent">Ultimately that is a cosmological question<span class="gmail_default"> not a mathematical one, </span></span><span style="background-color:transparent">and not just because</span><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"> only 62 digits of pi would be necessary to compute the circumference of the observable universe with an error of less than the </span><span style="background-color:transparent">Planck lengt<span class="gmail_default">h. The big question is whether it's possible, even in theory, for an individual observer to make an infinite, and not just very large, number of computations in a finite amount of time. If the universe is only capable of calculating a particular finite number of digits of pi then talking about a digit larger than that number is meaningless. </span></span></b></font></div><div style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><font size="4" face="tahoma, sans-serif"><b><span style="background-color:transparent"><span class="gmail_default"><br></span></span></b></font></div><font size="4" style="" face="tahoma, sans-serif"><b style="">Any region with finite energy has a finite number of distinguishable states due to the Bekenstein bound, so a computer confined to it can run forever only by repeating states. Reversible computations can help but the cosmological event horizon sets a temperature floor near 10^-30 K, so Landauer erasure costs never entirely vanish, and that would seem to indicate infinite computations are not possible; <u>BUT</u> if dark energy was zero (or at least was ≥ −1/3) and the universe was not accelerating then there would be no boundary and although you'd still have the CMB, that would soon be red shifted away, so a temperature floor would not exist.</b></font><div style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><br></div><font size="4" face="tahoma, sans-serif"><b>Barrow and Tipler, found that if dark energy reverses directions and produces a big crunch then that recollapsing universe would undergo infinitely many chaotic oscillations in finite proper time, with all horizons erased. An individual observer could then in theory process an unbounded amount  of information before the end. The trouble is it requires General Relativity to remain accurate arbitrarily close to the point singularity, which few expect, since Planck-scale physics should put a finite cap on the state count. But nobody really knows if space is continuous or what happens when you get super close to the Planck scale, so maybe.  </b></font><div style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><span class="gmail_default" style="font-family:arial,helvetica,sans-serif"><br></span></div><div style=""><font size="4" style="" face="tahoma, sans-serif"><b>In 1979 Freeman Dyson<span class="gmail_default" style=""> </span>wrote a paper called <a href="https://suli.pppl.gov/2019/course/RevModPhys.51.447.pdf" style="">Time Without End</a> <span class="gmail_default" style="background-color:transparent">that said </span><span style="background-color:transparent">an intelligent hibernating observer in step with the cooling background of the universe could experience an infinite amount of subjective time from a finite amount of energy</span><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"> in a finite amount of objective time if the universe is not accelerating</span><span style="background-color:transparent">. </span><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"> Today </span><span style="background-color:transparent">Dark energy is certainly present</span><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"> and the universe is accelerating, so that would seem to be ruled out, however </span><span style="background-color:transparent">if the current acceleration is <span class="gmail_default" style="">just </span>a transient phase of evolving dark energy,<span class="gmail_default" style=""> then Dyson might be right after all and infinite computation is possible. </span></span></b></font></div><font size="4"><br><b><font face="tahoma, sans-serif">It all depends on what dark energy does in the future. If it decays to zero then Dyson-style infinite computation scenarios are possible. If dark energy turns negative then you get a Big Crunch and a Tipler type situation where an observer could perform an infinite number of calculations.  If dark energy really is constant and the universe keeps on accelerating forever then then any single observer would only be able to perform a finite number of calculations. And if dark energy is getting stronger and the acceleration is accelerating (in other words if the universe is a jerk) then we get a Big Rip and infinite computation would be utterly impossible and things are completely hopeless.</font></b></font><div style="font-family:Arial,Helvetica,sans-serif"><br></div><div style=""><font size="4" style="" face="tahoma, sans-serif"><b style=""><span style="background-color:transparent">Today astronomers tell us that there is some indication dark energy is getting weaker, but</span><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"> the evidence is not strong enough to claim a discovery, you need 5 Sigma for that, and right now the Sigma is between 3 and 4.2, depending on what experimental evidence you consider acceptable. But whatever turns out to be true the question "do infinite digits of pi exist?" is not a mathematical or a philosophical question, it is a question that can only be answered by physics. </span></b></font></div><div style=""><font size="4" style="" face="tahoma, sans-serif"><b style=""><span class="gmail_default" style="background-color:transparent"><br></span></b></font></div><div style=""><font size="4" style="" face="tahoma, sans-serif"><b style=""><span class="gmail_default" style="background-color:transparent">John K Clark</span></b></font></div></div></div></div>